Estudio de funciones

Aplicación de la derivada para reconocer los intervalos de monotonía y localizar extremos de una función.

Puntos Críticos

Teorema de Fermat

Sea una función derivable en y sea .

Si es un extremo local, entonces .

Puntos Críticos

Lugares de interes del gráfico de , donde:

  • (condición necesaria pero no suficiente para extremo de )
  • Donde no exista (situación excluida del teorema de Fermat)

LLamaremos Puntos Críticos al conjuntos de puntos tales que

Nota

  • Todo extremo de una función se ubicará en un punto crítico.
  • No todos los puntos críticos corresponden con un extremo.
Como puede observarse en la función alcanza un mínimo local y en la función alcanza un máximo local. La recta tangente en ambos lugares es horizontal (derivada nula).

Teoremas de Valor Medio

Sea una función tal que:

  • es continua en el intervalo cerrado
  • es derivable en el intervalo abierto

Entonces, existe un donde se cumple

Nota

  • El cociente es la pendiente de la recta secante a que pasa por los puntos y
  • es la pendiente de la recta tangente de en
  • La igualdad indica que la recta tangente es paralela a la recta secante.
  • El teorema garantiza la existencia de un con la propiedad anterior, pero pueden existir otros.
Representación gráfica del teorema. Dada la recta secante que pasa por y es posible hallar al menos una recta tangente de igual pendiente.

Consecuencias de Teorema de Valor Medio

Teorema

Sea una funcion derivable en .

creciente en

decreciente en

Nota

  • Con el corolario del Teorema de Bolzado sobre es posible hallar los intervalos de monotonía de la función
  • Los intervalos de monotonía son útiles a la hora de estudiar o graficar una función.
La pendiente de la recta tangente al gráfico de una función y la monotonía están relacionados. En los intervalos donde la función es creciente (decreciente) su recta tangente tiene pendiente positiva (negativa).

Gráfico aproximado de funciones

Para realizar un gráfico aproximado de una función es necesario:

  1. Hallar dominio de la función
  2. Hallar intervalos de monotonía de la función
    1. Calcular la función derivada
    2. Hallar los puntos criticos de la función derivada
    3. Aplicar Corolario del Teorema de Bolzano sobre la función derivada
  3. Estudiar el comportamiento de la función en las fronteras de cada intervalo de monotonía:
    • Evaluando la función si la misma es continua.
    • Haciendo límite.

Utilidad

Con el gráfico de una función es posible:

  • Estimar la imagen de la función
  • Hallar los extremos de la función y clasificarlos.
  • Hallar la cantidad de soluciones de la ecuación donde es una constante.