Circunferencia trigonométrica

  • La circunferencia trigonométrica tiene radio 1 y centro en
  • Se define las funciones coseno y seno como las coordenadas del punto
    donde es la longitud de arco desde el punto hasta el punto con la siguiente convención:
    • si el arco es en sentido anti-horario.
    • si el arco es en sentido horario.

Nota

  • Cada valor de longitud de arco se relaciona con un ángulo. Llamaremos radianes a esta forma de medir ángulos.
  • A los radianes se da una vuelta entera, para valores mayores se vuelve a pasar por los puntos de la circunferencia trigonométrica.
Representación de la circunferencia trigonométrica. En color rojo se marca el arco de longitud desde el punto hasta el punto . La primer coordenadas de es el valor del y la segunda coordenada de es el valor del

Propiedades de las funciones trigonométrica

  • Usando el teorema de Pitagoras se obtiene
  • Como el radio de la circunferencia es 1, resulta
  • Dado que para una longitud de arco mayor a se vuelven a repetir los puntos de la circunferencia trigonométrica
  • Identidades trigonométricas de suma de ángulos
Valores notables de las funciones coseno y seno. Las primeras cuatro filas corresponden con resultados en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Propiedades del coseno

Usando la identidad trigonométrica de suma de ángulos

puede mostrarse

Estás propiedades son útiles para la resolución de problemas del tipo

Visualización de algunos puntos simétricos de la circunferencia trigonométrica desde donde pueden deducirse las propiedades listadas. Notar que cada punto pertenece a un cuadrante distinto del plano cartesiano. Los puntos en el II y III cuadrante son valores negativos del coseno.

Ecuación en la primera vuelta

Para los valores de se presentan las siguientes situaciones

Existen dos soluciones. La solución en el primer cuadrante puede buscarse en la tabla de valores (o usando la calculadora). Entonces,

Existen dos soluciones. Sea la solución del primer cuadrante de (puede encontrarse en la tabla de valores o con calculadora). Entonces,

Existe una solución que puede obtenerse de la tabla.

Nota

  • Las soluciones propuestas pueden demostrarse con las propiedades del coseno.
  • En el caso o en el caso la ecuación no tiene solución.
  • Las soluciones anteriores corresponden a los En caso de buscar soluciones para a las soluciones propuestas debe sumarse con (vueltas enteras).

Propiedades del seno

Usando la identidad trigonométrica de suma de ángulos

puede mostrarse

Estás propiedades son útiles para la resolución de problemas del tipo

Visualización de algunos puntos simétricos de la circunferencia trigonométrica desde donde pueden deducirse las propiedades listadas. Notar que cada punto pertenece a un cuadrante distinto del plano cartesiano. Los puntos en el III y IV cuadrante son valores negativos de la función seno.

Ecuación en la primera vuelta

Para los valores de se presentan las siguientes situaciones

Existen dos soluciones. La solución en el primer cuadrante puede buscarse en la tabla de valores (o usando la calculadora). Entonces,

Existen dos soluciones. Sea la solución del primer cuadrante de (puede encontrarse en la tabla de valores o con calculadora). Entonces,

Existe una solución que puede obtenerse de la tabla.

Nota

  • Las soluciones propuestas pueden demostrarse con las propiedades del seno.
  • En el caso o en el caso la ecuación no tiene solución.
  • Las soluciones anteriores corresponden a los En caso de buscar soluciones para a las soluciones propuestas debe sumarse con (vueltas enteras).

Gráficos de las funciones coseno y seno

Función coseno

Función seno

Nota

  • Los gráficos de ambas funciones son similares, salvo por una traslación horizontal.
  • Los gráficos se repiten cada
  • La imagen de ambas funciones es
  • Ambas funciones son continuas en los reales.

Amplitud, Imagen y Periodo

Dada la función de alguna de las siguientes formas

Se definen:

  • Amplitud de oscilación:
  • Imagen de la función:
  • Periodo de oscilación:
Representación de la función donde pueden verse la dependencia entre el gráfico y las constantes , , y .