Primitiva o antiderivada

Definición

Diremos que es una primitiva o antideridava de la función si cumple

A la operación de buscar las primitivas de una función llamaremos integración (indefinida) y lo notaremos

Propiedad

Si es una primitiva de la función , entonces también es primitiva de

Ejemplo

  • La función tiene por primitivas a

    Estas nos son las únicas, en general es la familia de primitiva de donde es un constante arbitraria. Podemos usar la notación

  • Algunas primitivas fáciles de calcular:

Tabla de integrales y propiedades

Propiedades

  • Derivada de una integral indefinida
  • Número Función
  • Función + Función
Tabla de integrales
(const.)
()
Tabla de integrales de funciones elementales. Esta tabla junto a las propiedades y los métodos de integración pueden calcularse integrales de una amplia variedad de funciones.

Método de sustitución

Aplicando integral sobre la regla de la cadena se observa

Para realizar el método de sustitición debe:

  • Definir una nueva variable de la forma
  • Hallar el diferencial de la nueva variable en función de la variable original
  • Con las expresiones anteriores sustituir todas las en la integral por la nueva variable Se obtiene una nueva integral a resolver.

Nota

  • El método puede inferirse de la regla de la cadena
    para la derivada de una composición.
  • El método de integración no resuelve integrales, solamente cambia una integral por otra (con la esperanza de que sea más fácil de resolver).
  • Mayormente, el metodo de sustición se aplica cuando
    • Se observa una composición de funciones (sustituyendo la función que esta dentro de la composición.)
    • Se observa que la derivada de parte de la función se encuentra multiplicando al diferencial.
  • Los casos anteriores son referencia, existen integrales donde se presentan las situaciones anteriores y no se resuelven por el método de susticición. También hay integrales que no corresponden a los casos de referencia pero el método es útil.

Método de partes

Debe aplicarse la siguiente expresión

donde es necesario elegir las "partes" de la integral.

  • Parte de la integral se tomará como y deberá calcularse
  • La parte restante será y deberá calcularse

Nota

  • El método de partes surge de integrar la fórmula
    de la derivada de producto de funciones.
  • El método no resuelve la integral, la transforma en una nueva.
  • Para debe tomarse el polinomio para derivar.
  • Para debe tomarse el polinomio para derivar.
  • Para debe tomarse el polinomio para derivar.
  • Para debe tomarse el para derivar.