Integral definida, Regla de Barrow y Cálculo de áreas

Preliminares

Objetivos de la presentanción

Calcular áreas:

  • Rectángulo:
  • Triángulo:
  • Entre los gráficos de dos funciones y para los ¿Cómo se puede calcular?
En forma sombreada se encuentra el área entre las funciones y en un intervalo Las rectas verticales son los límites del intervalo. Notar que cada punto del area tiene por encima una de las funciones y por debajo la otra.

Propiedad de la función de área

Supongamos que es una función tal que que calcula el área entre una función y el eje para

Propiedad

La función área es la primitiva de la función (con )

Demostración (idea): La derivada de la función área por definición es

Nota

  • El área entre la función y el eje para es igual a
  • Cuando los valores y son próximos, el área entre y el eje para los se aproxima a un rectángulo de base y altura con lo cual
La función representa el valor del área sombreada.
El área entre la y el eje para el intervalo es igual a . Cuando y se acercan, el área en buscada y el área del rectángulo que la contiene se parecen.

Integral Definida

Definición

Sea una primitiva de . Es decir,

Definimos la integral definida de entre y como

A la evaluación anterior se la denomina Regla de Barrow.

Propiedades

Nota

  • La integral definida se relaciona con el area debajo de solamente cuando para los .
  • Cualquier primitiva de se puede usar para aplicar la regla de Barrow. Es recomendable tomar la primitiva sin constante ().
  • Las primeras dos propiedades de integrales definidas son heredadas de las primitivas.
  • Las últimas tres propiedades pueden inferirse de la relación de la integral y el cálculo de áreas.

Área debajo de una curva

Propiedad

Sea una función integrable tal que

El area contenida entre la función y el eje horizontal para los es

Nota

  • La propiedad es consecuencia de la definición de integral.
  • En el caso de es necesario corregir el signo de la altura del rectángulo que se usa en el cálculo de la derivada de la función área. En ese caso el área buscada es
  • Cuando la función cambia de signo dentro del intervalo debe partirse en intervalos menores donde se conserve el signo.
Representación del área entre la función y el eje horizontal para los

Área entre funciones

Propiedad

Sean y dos funciones integrables tal que

El área contenida entre las dos funciones para los es

Nota

  • Cuando las funciones en el intervalo intercambian los papeles de techo y piso ( cuando ) debe partirse en intervalos menores donde las funciones conserven sus roles.
  • Si las funciones y son continuas en los lugares donde intercambian entre piso y techo corresponden con los puntos de intersección
  • El eje puede representarse por la función
Área entre las funciones y para los Los puntos interiores del área deben tener por encima una de las funciones (techo) y por debajo la otra (piso).