¿Invertir una función?

Dada un a función nos gustaria encontrar una función que deshaga la evaluación de . Llamaremos a esta función, si existe,

Entonces también se cumplirá

Diremos que una función es inversible si tiene inversa.

Nota

  • La primer ecuación puede entenderse como la forma de despejar una función (en el caso de tener función inversa)
  • Esa primer ecuación nos indica una forma de hallar la inversa de una función. Plantear y despejar . No siempre es posible.
  • En la segunda y tercer ecuación, una función y su inversa (si existe) se cancelan entre si.
  • La inversa de es (invertir dos veces una función devuelve la misma función).

Ejemplo de una función inversible

Sea la función

Despejar la ecuación es un método que puede intentarse para hallar la función inversa.

Como pudo despejarse , obtenemos

Nota

En una tabla de valores puede verse facilmente la relación de una función y su función inversa.

-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
-5 -2
-3 -1
-1 0
1 1
3 2
Tabla de valores de la función (a la derecha) y tabla de valores de su función inversa . Notar las tablas tienen sus columnas de valores intercambiados.

Ejemplo de una función no inversible

Sea la función

La función repite resultados por lo cual no es posible asignar la evaluación inversa con una función.

La función no tiene inversa.

Nota

  • No podemos despejar la ecuación

    ¿Podrá aún existir la función inversa aunque no logremos despejar su fórmula?

  • Las funciones que repiten resultado no son inversibles.
  • Es importante resaltar que el . Si cambiamos el dominio de forma explicita, podríamos tener una función inversible aunque la fórmula sea la misma.

Función inyectiva

Definición

Diremos que una función es inyectiva si y solo si para todo

Teorema

Para que una función sea inversible es necesario que sea inyectiva.

Nota

  • Una función que repite resultados no es inyectiva.
  • Una función no inyectiva no tiene función inversa.
  • Una función dada por un gráfico NO es inyectiva si hay alguna altura (segunda coordenada) que sea alcanzado más de una vez.
  • La definición de inyectividad depende del dominio de la función.

Propiedades de una función inversa

Propiedades

  • "Al despejar una función, pasa al otro miembro como su función inversa"
  • "La composición de una función y su inversa se cancelan entre si"
  • Relación entre la imagen y dominio de una función y su inversa

Gráfico de una función y su inversa

  • Los gráficos de y su función inversa tienen las coordenadas cambiadas.
  • Para pasar del gráfico de al gráfico de su función inversa se deben invertir los ejes de coordendas (girando 90 grados y volteandolo horizontalmente.)

Nota

Teniendo en cuenta

  • Los puntos del gráfico de son de la forma
  • Los puntos del gráfico de son de la forma
Gráfico de una función (linea continua) y de su invesa (linea punteada). Haciendo click en puede verse una animación que muestra como el gráfico de la función se transforma en el gráfico de su función inversa (tomando la linea continua el lugar de la linea punteada).