Límite lateral

¿Qué sucede con los resultados de una función a medida que se aproxima a ?


notación

  • Diremos que tiene límite cuando tiende a por izquierda y lo notaremos
    cuando los valores de se aproximan a a medida que se acerca por la izquierda a
  • Diremos que tiene límite cuando tiende a por derecha y lo notaremos
    cuando los valores de se aproximan a a medida que se acerca por la derecha a

Nota

  • En los números reales el acercamiento de hacia se puede hacer desde la izquierda o desde la derecha
  • Cuando los resultados de crecen indefinidamente diremos que el límite es infinito
  • Notar en los gráficos de ejemplo que (punto verde). En el concepto de límite no usa el valor de la función en el punto donde se hace el límite (a menos que sea continua, donde se da la igualdad).
Límite lateral por izquieda.
Límite lateral por derecha.

Límite puntual

¿Qué sucede con los resultados de una función a medida que se aproxima a ?

Definición

Diremos que tiene límite cuando tiende a y lo notaremos

cuando los valores de se aproximan a a medida que se acerca a sin importar si es por derecha o izquierda.

Propiedades

  • El límite puntual existe si y solo si los límites laterales son iguales. Es ese caso el límite puntual vale lo mismo que los laterales.
  • Cuando una función es continua en puede verse que
Representación de los límites laterales por derecha (en azul) y por izquierda (en rojo). Notar como ambos límites tienen con lo cual podemos decir que

Límites particulares

Propiedades

Nota

  • La notación de comillas como o indica una función cuyo límite es o , respectivamente.
  • Notar que en ocaciones se indica o (con signo explícito) y a veces (sin signo, a secas). El infinito a secas indica que el límite crece en módulo (sin importar si los valores son positivos o negativos).
  • En general puede verse que (para )
  • Cuando tenemos un límite donde aparece o hay que tener cuidado con las indeterminaciones:
Gráfico de la función y sus límites laterales (representado la tendencia por izquierda con el punto color azul y la tendencia por derecha con punto color rojo).

Límite indeterminado

Cuando se presenta límite de una división donde el numerador y el denominador tienden a cero el resutaldo del límite es indeterminado.

Ejemplo 1:

En esta indeterminación se puede factorizar el numerador y el denominador (sacando factor común):

Ejemplo 2

En esta situación puede factorizarse el polinomio del numerador usando la regla de Ruffini para (ya que es raíz de dicho polinomio) y el denominador puede factorizarse sencillamente sacando factor común .

Asíntotas Verticales (AV)

definición

Diremos que una función tiene una asíntota vertical (AV) de ecuación si el límite (sea puntual o cualquier lateral) es infinito.

Nota

  • Las asíntotas verticales son rectas, para definirlas es debe darse en forma de ecuación , núnca como un número aislado.
  • Los valores candidatos para buscar asíntota vertical son aquellos donde la función resulte discontinua o bien los valores que no pertenecen al dominio de la función.
  • Solo con que uno de los límites laterales de infinito alcanza para garantizar la existencia de una asíntota vertical.
Representación de una función y sus dos asíntotas verticales en y en

Límite

Definición

  • Diremos que tiene límite cuando tiende a y lo notaremos

    si los valores de se aproximan a cuando se hace un número cada vez más grande y positivo.

  • Diremos que tiene límite cuando tiende a y lo notaremos

    si los valores de se aproximan a cuando se hace un número cada vez más grande y negativo.

Gráfico de una función donde se puede ver las tendencias (punto de color rojo) y (punto de color azul). En este ejemplo:

Límites particulares

Propiedades

Nota

  • En general puede verse que (para )
  • Cuando tenemos un límite donde aparece o hay que tener cuidado con las indeterminaciones:
Gráfico de la función (con el deslizador se puede seleccionar la potencia ). El límite para queda representado por el movimiento del punto azul y el límite para queda representado por el punto rojo.

Asíntotas Horizontales (AH)

definción

Diremos que una función tiene una asíntota horizontal (AH) de ecuación si

Nota

  • La asíntota horizontal es una recta por lo cual debe definirse con una ecuación de tipo
  • Si el límite es finito solo para diremos que hay AH por derecha.
  • Si el límite es finito solo para diremos que hay AH por izquierda.
Gráfico de una función y sus asíntotas horizontales. Hay una asíntota horizontal por izquierda de ecuación y una asíntota horizontal por derecha de ecuación