Monomios

Definición

Llamaremos monomio a la función

donde se denomina grado del monomio y su coeficiente.

Propiedades

  • Suma de monomios de igual grado

  • Multiplicación de monomios

Nota

  • El monomio tiene grado y coeficiente
  • El monomio tiene grado y coeficiente
  • El monomio tiene grado si
  • Diremos que no tiene grado. Equivalentemente, no tiene grado.
Representación de monomios. Notar los monomios con grado impar tiene un rama hacia arriba y otra hacia abajo, mientras que los monomios de grado par tiene sus dos ramas hacia arriba (o hacia abajo).

Polinomios

Definición

Llamaremos polinomio a toda suma o resta de una cantidad finita de monomios.

  • Llamaremos grado del polinomio al mayor grado de los monomios intervinientes
  • Llamaremos coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado.

Nota

  • En los ejemplos es un polinomio de grado 5 y su coeficiente principal es 3. En el grado es 7 y su coeficiente principal es -5.
  • Todos los monomios son también polinomios.
  • Llamaremos como polinomio nulo y, como defininimos en monomios, no tiene grado.
  • Al multiplicar dos polinomios (no nulos) se obtiene un polinomio de grado igual a la suma los grados de cada polinomio.
  • Las funciones lineales son polinomios de grado a lo sumo
  • Las funciones cuadráticas son polinomios de grado

Definiciones auxiliares

  • Diremos que un polinomio es completo continene en forma explicita todas las potencias de menores o iguales que su grado (incluyendo el término independiente). El siguiente ejemplo muestra el mismo polinomio incompleto y completo.

    Como se muestra en el ejemplo, se puede completar un polinomio agregando las potencias faltantes multiplicadas por cero.

  • Diremos que un polinomio está ordenado si sus potencias se ubican de mayor a menor. El siguiente ejemplo muestra el mismo polinomio desordenado y ordenado.

Algoritmo de división

Teorema del resto

Sea un polinomio y Existe un único polinomio tal que

Teorema

Sea un polinomio y una raíz del polinomio (es decir, Entonces existe un único polinomio tal que

Nota

La regla de Ruffini nos permite encontrar y de forma sencilla.

Como ejemplo apliquemos la regla de Ruffini con sobre el polinomio

Es importante usar la forma ordenada y completa del polinomio.

En los números resultantes, los primeros corresponten con los coeficientes del polinomio del teorema y el último con .

Notar que el término Puede verse también evaluando en el polinomio

Raíces y Forma Factorizada de un polinomio

Teorema

Un polinomio de grado puede tener a lo sumo raíces.

Forma factorizada

Un polinomio de grado que tiene como raíces puede escribirse como

Ejemplos

El polinomio tiene grado , con raíces a y coeficiente principal

El polinomio tiene grado , con raíces a y coeficiente principal

Nota

  • No todos los polinomios tienen forma factorizada.
  • En la forma factorizada, el número es el coeficiente principal de polinomio.
  • En la forma factorizada, las raíces del polinomio llevan el signo cambiado (debido a que se encuentran restando).
  • Factorizar un polinomio implica resolver un problema
  • Las raíces de un polinomio son los elementos de su conjunto de ceros
  • Cuando se conoce una raíz de un polinomio puede ser muy útil la regla de Ruffini para comenzar la factorización.
  • Cuando no hay término independiente es buena idea sacar factor común para comenzar la factorización.