Continuidad en un punto

definición

Sea una función. Diremos que es continua para si se cumple

En caso de no cumplir lo anterior diremos que es discontinua en

Diremos que es continua en un conjunto si es continua en todo

Una función tiene una discontinudad en evitable si
Una función tiene una discontinuidad esencial en si es discontinua en pero no evitable.

Representación de una función y el punto

Al mover los delizadores puede cambiarse la función de tal manera que resulte continua o discontinua.

La existencia del límite puntual implica que los límites laterales existen y son iguales.
Intuitivamente la función es continua en el gráfico de la función pasa por punto y además los trazos a izquierda y derecha se dirigen a ese punto.

Sean y funciones continuas Entonces:

Así también si continua en y continua en entonces es continua en

Los funciones polinómicas son continuos en
Las funciones exponenciales son continuuas en
Las funciones logarítmicas son continuas en
Las funciones trigonométrica son continuas en
Una función presentará un gráfico sin cortes donde puede definirse un intervalo donde la función sea continua.

Gráfico de la función

La función

es continua en todo su dominio pero su gráfico se corta en

Sea una función tal que

Entonces

Sea una una función continua en un intervalo y que no tenga ceros en él, entonces conserva su signo en dicho intervalo.

En el teorema de Bolzano representa una raíz o cero de la función lugar donde el gráfico pasa por el eje Puede existir multiples raíces.
El Colorario del teorema de Bolzano es muy útil para buscar los conjuntos de positividad y de negatividad de una función.

Representación de distintas funciones continuas en el intervalo

Sin importar la forma de la función, cuando

tienen distinto signo, el gráfico debe pasar al menos una vez por el eje