Introducción a Integrales
Áreas - introduccion
Problema a resolver
Sea una función tal que
¿Cuál es el área contenido entre el gráfico de y el eje para los ?
Nota
- Por simplicidad se pide que el , significando que la función queda por arriba del eje .
- Por simplicidad, también, se pide que la base del área sea el eje .
- Más adelante generalizaremos el problema.
Áreas - Aproximación por rectángulos
- Se parte el intervalo en varios intervalos menores.
- En cada intervalo se dibuja un rectangulo (en este caso, de altura igual al valor de en el borde izquierdo del intervalo base)
- Se suman las areas de los rectángulos.
El resultado es aproximadamente el valor de area buscada.
Nota
- ¿Existe alguna elección de altura de cada rectángulo más inteligente?
- Al agregar más rectángulos el resultado aparenta aproximar mejor. ¿Existe una partición del intervalo mejor?
- ¿Qué garantía hay de que el área aproximada se acerque al área objetivo?
Particiones de intervalos
- Llamaremos partición del intervalo al conjunto tal que:
- Dadas y particiones de . Diremos que es una partición más fina que la partición cuando incluye todos los puntos de .
Ejemplo
- , y son particiones del intervalo .
- es más fina que
- no es más fina que porque .
Sumas Inferiores
Definición
Sea una partición del intervalo . Llamaremos suma inferior de para la partición
donde es area del rectángulo con
- Base
- Altura
Con lo cual obtenemos
Nota
- La suma inferior es menor al area buscada.
- Al hacer más fina la partición la suma inferior crece.
Sumas Superiores
Definición
Sea una partición del intervalo . Llamaremos suma superior de para la partición
donde es area del rectángulo con
- Base
- Altura
Con lo cual obtenemos
Nota
- La suma superior es mayor al area buscada.
- Al hacer más fina la partición la suma superior decrece.
Integral de Riemann
Llamemos al área buscada. Sean y particiones de
Sumas inferiores
- Si más fina que
Llamaremos integral inferior de en
Sumas Superiores
- Si más fina que
Llamaremos integral superior de en
Definición de integral
Cuando la integral inferior y superior coinciden, obtenemos . Diremos entonces que es integrable en y notaremos
Nota
- A la expresión la denominaremos integral definida.
- La restricción solo se empleó para simplificar la interpretación. Se puede calcular integrales incluso con aunque deja de ser igual al área entre y el eje
- Toda función monótona en es integrable en
- Toda función continua (salvo en una cantidad finita de puntos) en es integrable en
- Como caso particular, la función
no es integrable en (y en ningún otro intervalo).
Propiedades de integral definida
Sean y funciones integrables:
Nota
- La integral definida es el area bajo la curva cuando . Sin embargo la integral se puede calcular esa restricción.
- De la relación entre la integral y el cálculo de área pueden inferirse las propiedades de las integrales definidas.
- Las propiedades de las integrales definidas son de gran utilidad.
Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema
Sea integrable en y continua en .
Sea
Entonces,
Teorema (Regla de Barrow)
Sea integrable en y sea una primitiva de .
Entonces,
Nota
- = número (integral definida.)
- = función (la llamaremos función integral.)
- La integral y la derivada están relacionadas porque Usando además la regla de la cadena puede verse que
- Teniendo en cuenta la relación entre la integral y la derivada, llamaremos primitiva o antiderivada de una función a la función tal que cumple
Integral Indefinida - Primitiva
- Llamaremos una primitiva de a toda función tal que
- Si es primitiva entonces también es primitiva.
- Escribiremos a la familia de primitivas de como
Denominaremos a esta operación como integral indefinida.
Propiedades
| Tabla de primitivas | |
|---|---|
| (Constante) | |
| () | |
Método de sustitución
Aplicando integral sobre la regla de la cadena se observa
Para realizar el método de sustitición debe:
- Definir una nueva variable de la forma
- Hallar el diferencial de la nueva variable en función de la variable original
- Con las expresiones anteriores sustituir todas las en la integral por la nueva variable Se obtiene una nueva integral a resolver.
Nota
- El método puede inferirse de la regla de la cadena para la derivada de una composición.
- El método de integración no resuelve integrales, solamente cambia una integral por otra (con la esperanza de que sea más fácil de resolver).
- Mayormente, el metodo de sustición se aplica cuando
- Se observa una composición de funciones (sustituyendo la función que esta dentro de la composición.)
- Se observa que la derivada de parte de la función se encuentra multiplicando al diferencial.
- Los casos anteriores son referencia, existen integrales donde se presentan las situaciones anteriores y no pueden resolverse por el método de sustitución. También hay integrales que no corresponden a los casos de referencia pero el método es útil.
Método de partes
Debe aplicarse la siguiente expresión
donde es necesario elegir las "partes" de la integral.
- Parte de la integral se tomará como y deberá calcularse
- La parte restante será y deberá calcularse
Nota
- El método de partes surge de integrar la fórmula de la derivada de producto de funciones.
- El método no resuelve la integral, la transforma en una nueva.
- Para debe tomarse el polinomio para derivar.
- Para debe tomarse el polinomio para derivar.
- Para debe tomarse el polinomio para derivar.
- Para debe tomarse el para derivar.
Método de Fraciones simples
Se emplea para integrar funciones racionales donde y son polinomios tal que
- Cuando de grado tiene todas sus raices distintas puede reescribirse
donde son constante a determinar algebraicamente.
- Cuando tiene alguna raíz (supongamos ) de multiplicidad , deben sumarse fracciones simples de la forma con
- Cuando tiene raíces no reales debe usarse la fracción simple cuya integral es
Nota
- Se llama fracción simple a cualquier función de la forma
- Las fracciones simples son fáciles de integrar. Con la sustitución se obtiene
y para
- Con el método se reescribe la función racional a integrar como suma de fracciones simples fáciles de integrar.