Límite ( )

Definición

Sea una función cuyo dominio no esta acotado superiormete.

Diremos que

cuando tal que

Diremos que

cuando tal que

Nota

  • La definición es equivalente al límite de sucesiones.
  • No se pueden usar los criterios de D'Alembert (del cociente) y Cauchy (de la raiz n-ésima). Son exclusivos de sucesiones.
  • Como el dominio no esta restringido a también pueden hacerse , con , etc.
Representación gráfica de un límite . La banda en rojo centrada en tiene un alto Para que exista el límite, para cualquier valor de debe existir un valor de tal manera que la función ingrese por el lateral izquierdo del recuadro rojo y no se salga del mismo.

Límite ()

Definición

Sea una función cuyo dominio no esta acotado inferiormente.

Diremos que

cuando tal que

Diremos que

cuando tal quel

Representación gráfica de un límite . La banda en rojo centrada en tiene un alto Para que exista el límite, para cualquier valor de debe existir un valor de tal manera que la función ingrese por el lateral derecho del recuadro rojo y no se salga del mismo.

Límite Lateral por izquierda

Sea una función y Diremos que

Cuando tal que

Nota

Notar que la condición implica , indicando que al límite no le importa el valor (que incluso podría no exitir).

Representación gráfica de un límite lateral por izquierda . El recuadro en rojo centrado en tiene ancho y alto Para que exista el límite, para cualquier valor de debe existir un valor de tal manera que la función ingrese por el lateral izquierdo del recuadro rojo y no se salga del mismo.

Límite Lateral por derecha

Sea una función y Diremos que

Cuando tal que

Nota

Notar que la condición implica , indicando que al límite no le importa el valor (que incluso podría no exitir).

Representación gráfica de un límite lateral por derecha . El recuadro en rojo centrado en tiene ancho y alto Para que exista el límite, para todo valor de debe existir un valor de tal manera que la función ingrese por el lateral derecho del recuadro rojo y no se salga del mismo.

Límite puntual

Sea una función y Diremos que

Cuando tal que

Nota

  • Notar que la condición implica , indicando que al límite no le importa el valor (que incluso podría no exitir).
  • El límite puntual existe si y solo si los límites laterales existen y valen lo mismo.
  • Los límites con resultado se reemplaza por y también por
Representación gráfica de la definición de límite puntual para el caso Los valores y forman el alto y el ancho (respectivamente) de un rectangulo centrado en . Para que existe el límite, en cualquier valor de debe existir un valor para el cual la función ingrese por los costados del recuadro rojo y no se salga del mismo.

Propiedades de límites

El tratamiento es similar a los límites de sucesiones (sin criterio de D'Alembert ni criterio de Cauchy):

  • Vale el algebra de límites de sucesiones.
  • Se mantienen las indeterminaciones.
  • Vale las propiedad del Sandwich y
  • En sumas y restas se puede sacar factor común el término dominante (cuando este tiene a ).
  • En divisiones de polinomios que tienen a se puede factorizar.
  • En la situación donde los términos tienen un crecimiento similar y al menos interviene una raíz cuadrada se puede multiplicar y dividir por el conjugado
  • Se puede hacer cambio de variable.
  • Se puede usar la regla de L'Hospital.
  • En los límites vale:

    si y usar el límite especial:

  • En los casos se puede usar

Nota

La notación representa a una función cuyo límite es .

Límite especial

Propiedad

Nota

El límite presenta una indeterminación

Si bien esta propiedad es fundamental para este tipo de indeterminación, podrá salvarse también con la regla de L'Hospital.

Idea de la demostración de la propiedad:

Sea el arco de circunferencia entre el y el punto (rojo) en la construcción geométrica. Las areas de las figuras son:

  • Área del "triángulo 1"
  • Área de la "sección circular"
  • Área del "triángulo 2"

Debido a las desigualdades de las áreas del "triángulo 1", "sección circular" y "triángulo 2" tenemos

Teniendo en cuenta que y diviendo a todo por queda

Finalmente, usando el teorema de Sandwich y algebra de límites puede demostrarse el límite especial.

Construcción geométrica para probar el límite especial. El punto rojo es Notar que el área del "triángulo 1" es menor a la "sección circular" y esta última menor al "triángulo 2".

Asíntotas de una función

Asíntota horizontal (AH)

Diremos que una función tiene una asíntota horizontal (AH) en si

Nota

  • Si el límite es finito solo para diremos que hay AH por derecha.
  • Si el límite es finito solo para diremos que hay AH por izquierda.
  • Si el dominio de la función esta acotado, entonces no puede tener AH.

Asíntota Vertical (AV)

Diremos que una función tiene una asíntota vertical (AV) en si

Nota

  • Son candidatos a AV los valores que no pertencen al dominio de la función y los lugares de bifurcación en una función partida.
  • Con que un límite lateral de alcanza para la existencia de una AV.
Gráfico de una función y sus asíntotas. Hay una AV por derecha de ecuación , una AV por izquierda de ecuación y una AH de ecuación .