Generalizando la recta tangente

Recta tangente

Sea derivable en .

Si es la recta tangente al gráfico de en el punto entonces

Polinomio de Taylor

Sea derivable veces.

Llamaremos polinomio de Taylor de orden en el punto , al polinomio de grado a lo sumo tal que

Nota

  • La recta tangente corresponde al polinomio de Taylor de orden de la función.
  • El grado del polinomio de Taylor puede no coincidir con el orden del mismo.
  • Nuestro objetivo es aproximar una función por un polinomio. Los polinomios son fáciles de evaluar.

Generalizando la recta tangente

Recta tangente

Sea una función derivable en .

Llamamos recta tangente al gráfico de en

Polinomio de Taylor

Sea veces derivable en

Llamaremos polinomio de Taylor de orden al gráfico de en

Nota

  • Al escribir el polinomio en términos de potencias de tenemos más control de los coeficientes.
  • Cuando el polinomio de Taylor también lleva el nombre de polinomio de Maclaurin.

Polinomio de Taylor de

Para determinar el polinomio de Taylor orden de en debemos calcular las primeras 5 derivadas

Con lo cuál obtenemos

Polinomio de Taylor de la función centrado en

Nota

  • Debe apreciarse que el orden del polinomio es pero el grado del mismo es
  • A medida que el orden del polinomio de Taylor aumenta, se observa:
    • "Mejora la aproximación" cerca del centro del polinomio
    • Se extiende el intervalo donde la aproximación es "aceptable".
  • Centrar el polinomio de Taylor en otro punto es posible pero cuestionable.

Polinomio de Taylor de

Para determinar el polinomio de Taylor orden de en debemos calcular las primeras 5 derivadas

Con lo cuál obtenemos

Polinomio de Taylor de la función centrado en

Nota

  • A medida que el orden del polinomio de Taylor aumenta, se observa:
    • "Mejora la aproximación" cerca del centro del polinomio
    • Se extiende el intervalo donde la aproximación es "aceptable".
  • Centrar el polinomio de Taylor en otro punto es posible pero cuestionable.

Polinomio de Taylor de

Para determinar el polinomio de Taylor orden de en debemos calcular las primeras 4 derivadas

Con lo cuál obtenemos

Polinomio de Taylor de la función centrado en

Nota

  • A medida que el orden del polinomio de Taylor aumenta, se observa:
    • "Mejora la aproximación" cerca del centro del polinomio
    • Se extiende el intervalo donde la aproximación es "aceptable".
  • Centrar el polinomio de Taylor en otro punto es posible pero cuestionable.

Polinomio de Taylor de

Para determinar el polinomio de Taylor orden de en debemos calcular las primeras 4 derivadas

Con lo cuál obtenemos

Polinomio de Taylor de la función centrado en

Nota

  • A medida que el orden del polinomio de Taylor aumenta, se observa:
    • "Mejora la aproximación" cerca del centro del polinomio
    • Se extiende el intervalo donde la aproximación es "aceptable", pero limitado al intervalo
  • Centrar el polinomio de Taylor en otro punto es posible pero cuestionable.

Aproximar funciones con polinomio de Taylor

Resto de Taylor

Dada una función veces derivable en y su polinomio de Taylor de orden en definimos el Resto de Taylor de orden como

Fórmula del resto de Taylor

Si es una función veces derivable, existe un entre y tal que

Nota

  • Al aproximar evaluando , el error de la aproximación es
  • El valor de en la fórmula de Taylor es, en general, desconocido. Normalmente se busca acotar la expresión del resto para estimar que grande puede ser el error.
Representación de una función (verde) y su polinomio de Taylor. Al evaluar la función y el polinomio en dado, puede verse una diferencia entre los resultados. Esta diferencia es el Resto.