Recta tangente

Concepto

La recta tangente a una curva en un punto es aquella recta que cumple con las siguentes propiedades:

  1. Interseca a la curva en el punto
  2. La recta y la curva son indistinguibles cerca del punto

Objetivo

Hallar forma funcional de la recta tangente al gráfico de una función en el punto

Una curva y su recta tangente en el punto . Al ampliar el gráfico hacia el punto la curva y su recta tangente se vuelven indistinguibles.

Recta Secante

Definición

Para el gráfico de una función , la recta secante que pasa por los puntos y tiene:

  • Pendiente
  • Ecuación

Nota

  • La recta secante puede tener intersección en más de dos puntos.
  • La recta secante se parece más a una recta tangente al acercar los puntos y . Usando esta idea construiremos la definción de la recta tangente.
Recta secante que pasa por los puntos y . Notar que a medida que los puntos se acercan la recta secante se parece a una recta tangente.

De la secante a la tangente

Recta secante

La recta secante al gráfico de una función que pasa por los puntos y tiene:

Recta tangente

La recta tangente al gráfico de una función que pasa por el punto puede construirse haciendo que los puntos de la recta secante se acerquen entre si (tomando límite ):

Visualización de la recta tagente y recta secante en el gráfico de una función. "Acercando los puntos" la recta secante se aproxima a una recta tangente.

Recta tangente

Definición

Sea un punto interior del . La recta tangente al gráfico de una función en el punto de contacto se define como:

Nota

  • Al límite propuesto se le conoce como "límite del cociente incremental". Este límite debe existir y ser finito para que la definición dada tenga sentido.
  • El límite del cociente incremental puede escribirse alternativamente como
  • Esta definición no contempla el caso donde la recta tangente sea vertical. En ese caso, el límite del cociente incremental sería
Función y su recta tangente. En y en no existe recta tangente por ser frontera de la definción de . En la recta tangente es vertical. En no hay recta tangente porque a la izquierda y derecha las pendientes son distintas.

Derivada

Definición

Sea un punto interior del . Llamaremos derivada de en (y lo notaremos ) al resultado del límite del cociente incremental (siempre y cuando exista y sea finito)

Se llama función derivada a la función que calcula la derivada de para cada (cuando la derivada exista).

Propiedad

Si es derivable en entonces también es continua en .

Nota

  • La pendiente de la recta tangente al gráfico de en es igual a la derivida
  • La definición de derivada es poco práctica. Veremos que con una tabla de derivadas y una serie de propiedades puede agilizarse muchos cálculos.
  • Es importante destacar debe estar incluido en (sin incluir la frontera).
Tabla de derivadas
(constante)
Notar que la tabla de derivada no incluye funciones partidas. Para derivar funciones partidas (en donde sucede la partición) es necesario recurrir a la definición de derivada.

Propiedades de derivación

1. Función + Función

2. Número Función

3. Función Función

4. Función / Función

5. Regla de la cadena

Tabla de derivadas
(constante)

Otras derivadas

Derivada logarítmica

Sea . Entonces

Demostración

Usando la regla de la cadena puede verse que

Esta propiedad es muy útil para derivar una función del tipo . Si aplicamos el de ambos lados tenemos

Derivando cada miembro y usando propiedades queda

Y despejando obtenemos la derivada buscada

Derivada de función inversa

Sea una función inversible tal que . Si ambos funciones son derivables se tiene

Demostración

Al componer una función y su invesa obtenemos Al derivar ambos miembros de la igualdad en obtenemos

donde se uso la regla de la cadena en el miembro izquierdo de la igualdad. Pasando dividiendo y reemplazando obtenemos

quedando la expresión del enunciado.

Una aplicación de la derivada de la función inversa es usarla para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Sus resultados son:

Derivada y recta tangente

Propiedad

La recta tangente al gráfico de en tiene ecuación:

Propiedad

Si es la recta tangente al gráfico de en , entonces

Nota

no es derivable en se presenta alguna de las siguientes situaciones:

  • es discontinua en
  • Si tiene "arrugas o picos" en
  • La recta tangente al gráfico de es vertical en
  • es frontera del dominio de la función