Series reales y de potencias

Preliminares

Definición

Sea una sucesión . Llamaremos sumatoria de desde hasta

Nota

  • Se denomina como término general a
  • La sumatoria de desde hasta es finita siempre. No es obligatorio arrancar desde , puede generalizarse.

Objetivos

  • Definir, cuando es posible, sumas de infinitos términos
  • Ejemplos sencillos:

Nota

  • La sumatoria hasta consiste en sumar infinitos números.
  • ¿Puede hacerse una suma de infinitos términos en tiempo finito? En los primeros dos ejemplos queda claro que es posible, al menos en algunos casos.
  • ¿Puede saberse antes de sumar si el resultado será finito, infinito o no tiene sentido?
  • ¿Qué valor podemos asignar al último ejemplo?

Series

Definición

Sea una sucesión. Llamaremos serie de término general a la expresión

Llamaremos suma parcial de la serie a la suma de los primeros términos.

Diremos que una serie es convergente si las sumas parciales tienen límite finito

nota

  • Las sumas parciales fomar una sucesión.
  • Diremos que una serie es divergente cuando el límite de las sumas parciales es infinito o no existe.
  • Veremos que muchos casos podremos determinar si una serie es convergente o divergente. Sin embargo, el valor de la serie solamente podra calcularse en una cantidad reducida de casos.
  • El término donde comienza la serie no es importante para determinar su convergencia. Notar que dado un cualquiera se tiene

    donde el primer término es finito siempre y, por lo tanto, la convergencia de la serie depende del segundo término (suele llamarse cola de la serie).

Series de resultado conocido

Serie Geométrica

Para la serie converge y además

En cualquier otro caso la serie diverge.

Serie Telescópica

Sea una sucesión real

Nota

  • Las fórmulas de las series geométrica y telescopicas se obtienen de analizar sus sumas parciales y aplicarles límite.
  • Cuando la serie geométrica comience en un término distinto al propuesto, puede restarse los términos excedentes del caso con . Por ejemplo,
  • Si bien en estas series particulares es posible determinar el valor de convergencia de la serie, en otras series veremos que solamente podremos indicar la convergencia o no (sin dar un valor resultante).

Teoremas importantes

Condición necesaria de convergencia

Toda serie cumple con

Aunque tiene más utilidad su contrarecíproco

Propiedad

Sean y dos series convergente. Sea . Entonces,

Definición

Diremos que una serie es de términos no negativos cuando

Las series de términos no negativos son convergentes o divergen a

Nota

  • La condición necesaria es, generalmente, fácil de verificar.
  • Es importante notar la condición necesaria de convergencia solamente puede usarse para probar la divergencia de una serie, cuando se da la situación
  • La mayoria de los criterios de convergencia que estudiaremos corresponden a series de términos no negativos.

Criterios de Comparación

Criterio de comparación directa

Sean y dos series de términos no negativos tal que

Criterio de comparación indirecta (vía límite)

Sean y dos series de términos no negativos

Nota

  • Los criterios de convergencia no dicen el valor de convergencia.
  • Los criterios de comparación directa suelen denominarse también como criterio del mayorante y minorante. Notar que la condición indica las sumas parciales de serán siempre menores o iguales a las de . De allí que si la primera diverge, la segunda también; y que si la segunda diverge, la primera también.
  • El criterio de comparación directa es útil en demostraciones pero difícil de ejecutar en general. El criterio de comparación via límite es más sencillo de usar.
  • La notación de
    representa que el límite debe dar un resultado mayor estricto que cero o infinito.

Criterio integral de Cauchy

Sea una función positiva y monótona decreciente en el intervalo . Entonces

y equivalentemente

Nota

  • Definiremos la integral impropia de una función
  • Usualmente, partiendo de una serie , se reemplaza la por una para obtener la función
  • Para verificar la monotonía de alcanza ver derivada negativa en un intervalo que llegue al
El area de es menor que el area de los rectángulos .
El area de es mayor que el area de los rectángulos .

Serie p

Propiedad

Nota

  • El caso se conoce como serie armónica. Corresponde a la frontera entre la convergencia y divergencia de la serie p.
  • Para es inmediato por no cumplir la condición necesaria de convergencia.
  • Para puede usarse el criterio integral de Cauchy porque
    • es positivo en .
    • para .
  • La serie p es muy útil como complemento del criterio de comparación via límite.

Criterio del cociente y de la raiz

Sea una serie de términos no negativos. Entonces,

Nota

  • El los criterios del cociente y de la raiz n-ésima también se denominan como criterio de D'Alembert y criterio de Cauchy, respectivamente.
  • Los siguientes límites pueden ser útiles:

Series alternadas

Definición

Diremos que una serie es alternada si puede escribirse de la forma

o de la forma

Criterio de Leibniz

Sea una serie que cumple las siguientes propiedades

  • es alternada.
  • es monótona decreciente.

Entonces, la serie es convergente.

Nota

Una serie es alternada si término a término hay variación del signo.

  • Si alguna de las condiciones no se cumple, el criterio no decide.
  • En el caso , la serie es divergente por no cumplir la condición necesaria de convergencia.

Convergencia absoluta

Definiciones

  • Diremos que una serie converge absolutamente si converge.
  • Diremos que converge condicionalmente si es converge pero diverge (no converge absolutamente).

Teorema

Es decir, una serie con convergencia absoluta es convergente.

Nota

  • converge absolutamente.
  • converge condicionalmente.
  • Al estudiar la convergencia absoluta pueden usarse todos los criterios de series de términos positivos.
  • El teorema no dice nada cuando es divergente.

Series de potencias - Idea

Serie geométrica

Para tenemos

Polinomio y Serie de Taylor

Sea una función veces derivable. Se define el polinomio de Taylor de de orden en como

Y la serie de Taylor de (derivable infinitas veces) en es la generalización de lo anterior

Representación de una función y su polinomio de Taylor (curva punteada) de orden en el punto de contacto (en azul).

Nota

  • El polinomio de Taylor aproxima a la función . A mayor orden y cerca de mejor es aproximación. La serie de Taylor deja de ser una aproximación para convertirse en una igualdad ¿Siempre?
  • ¿Para qué valores de se da la igualdad entre la función y la serie?

Serie de potencias

Definición

Llamaremos serie de potencias a toda serie de la forma

Convengencia

Al el criterio de cociente (D'Alembert) o de la raíz (Cauchy) a la serie de potencias con módulo, obtenemos algo de la forma

  • Para hay convergencia absoluta. El radio de convergencia es
  • Para la serie de potencia diverge.
  • Para el criterio aplicado no decide por tanto hay que aplicar otra estrategía.

Nota

  • En el caso de la divergencia de la serie esta garantizada dado que el término general no tiende a cero (por criterio de D'Alembert o de Cauchy de sucesiones) con lo cual no se cumple la condición necesaria de convergencia.
  • Cuando las potencias no se presentan en la forma propuesta no hay, necesariamente, radio de convergencia.
  • Toda serie de potencias converge en . El radio de convergencia puede ser cualquier numero mayor o igual a cero e incluso .