Sucesiones

Definiciones

  • Es una función de dominio en los Naturales,
  • Llamaremos término n-ésimo o término general a la evalución de sucesión en , y lo notaremos
  • También puede pensarse como una lista de elementos:

Ejemplos

  • donde
  • donde
  • donde
  • donde
  • donde

Nota

  • La variable independiente es para hacer énfasis en su dominio en .
  • Una sucesión se puede definir por recurrencia. Ejemplo: La suceción que cumple y .
  • No toda sucesión presentada como lista tiene necesariamente asociada una fórmula para el término general. La sucesión de número primos es un ejemplo:

Representación de sucesiones

Gráfico en el plano

Las sucesiones se pueden representar igual que una función, con la salvedad de su dominio en . El el gráfico se observa

Puntos en la Recta

Cada punto representa los términos de la sucesión

Nota

  • En ambos gráficos se puede observar que los valores de la sucesión se aproximan a a medida que crece el orden Diremos en este caso:
    • tiende a
    • converge o es convergente a .
    • El límite de para tendiendo a es igual a . Notación
  • Hay sucesiones que no son convergentes (o equivalentemente, no tienen límite). La sucesión oscila entre y .
  • Hay sucesiones cuyos valores crecen hacia infinito como en el caso . En ese caso diremos que la suceción tiene limite infinito.

Límite de sucesiones convergentes

Definición

Una sucesión se dice convergente a o tiende a si

Cuando esto suceda lo notaremos

En el caso que la sucesión no tenga límite (finito) diremos que es una sucesión divergente.

Nota

  • indica que lo que sigue debe cumplirse para cualquier valor de positivo.
  • La expresión implica que la distancia entre los valores de y es menor que En el gráfico esta expresión corresponde a una banda de semiancho alrededor de .
  • El valor corresponde al primer término a partir del cual se cumple . Para que exista el límite, dado cualquier debe poder hallarse un a partir del cual todos los valores de se encuetren a distancia menor de respecto de
Representación de una sucesión (puntos) y la banda centrada en y semiancho Los puntos dentro de esa banda se encuentran a distancia menor que respecto del Para cada es posible definir un término a partir del cual todos los siguientes caen dentro de la banda.

Un ejemplo de la definición de límite

Propiedad

demostración

Queremos ver que

Sea cualquier veamos para que valores de se cumple Como (porque es natural) nos queda:

Por propiedad arquimediana, sin importar el valor de siempre encontraremos un número natural de mayor valor. Con lo cual existe tal que . Por la propiedad transitiva además cualquier otro número también cumple

Representación de la sucesión y la banda de semiancho centrada en

Límite divergente al infinito

Definición

Diremos que la sucesión tiende a o diverge a si

y lo notaremos como

Nota

  • hace las veces de de límite convergente. Sin embargo indica la separación de los valores de con respecto al
  • En el caso de conocer el signo de la tendencia se notará o
Representación de una sucesión y las regiones (bandas) que se encuentran a distancia mayor a respecto del eje horizontal.

Ejemplo de límite infinito por Definición

Propiedad

Nota

Queremos ver que

Dado cualquier valor de , la propiedad arquimediana nos garantiza que existe un número natural mayor que , si llamamos a ese natural nos queda .

Por la propiedad transitiva, para cualquier numero tenemos , como queriamos probar.

Representación de la sucesión

Álgebra de Límites e indeterminaciones

Propiedad

Sean y dos sucesiones convergentes (con límite finito) tal que y . Entonces:

Indeterminaciones

En las situaciones no contempladas por el álgebra de límite aparecen algunas indeterminaciones. En esos casos el límite puede existir pero para hallarlo es necesario aplicar algún método o criterio.

Nota

  • La notación , , o indican a una sucesión cuyo límite es o un número respectivamente.
  • Existen situaciones donde el álgebra de límite de puede extender a sucesiones no convergentes, algunos ejemplos son:
    • (suma de de mismo signo)