Clasificación de extremos

Definición de extremos locales

Diremos que una función tiene un mínimo local o relativo en si existe un intervalo que contiene a tal que

Diremos que una función tiene un máximo local o relativo en si existe un intervalo que contiene a tal que

Definición de extremos absolutos

Diremos que una función tiene un mínimo absoluto en si

Diremos que una función tiene un máximo absoluto en si

Nota

  • Todo extremo absoluto también es, además, un extremos local o relativo.
  • Para hallar y clasificar los extremos de una función es útil hacer un gráfico.
  • Las funciones continuas en intervalos cerrados siempre tienen máximo y mínimo absoluto (Teorema de Weierstrass).

Puntos Críticos

Teorema de Fermat

Sea una función derivable en y sea .

Si es un extremo local, entonces .

Puntos Críticos

Lugares de interes del gráfico de , donde:

  • (condición necesaria pero no suficiente para extremo de )
  • Donde no exista (situación excluida del teorema de Fermat)

LLamaremos Puntos Críticos al conjuntos de puntos tales que

Nota

  • Todo extremo de una función se ubicará en un punto crítico.
  • No todos los puntos críticos corresponden con un extremo.
Función con extremos locales en , , , y Solamente los extremos en y cumplen con las condiciones del teorema de Fermat.

Teoremas de Valor Medio

Teorema de Rolle

Sea una función tal que:

  • es continua en el intervalo cerrado
  • es derivable en el intervalo abierto

Entonces, existe un donde se cumple

Teorema de Lagrange

Sea una función tal que:

  • es continua en el intervalo cerrado
  • es derivable en el intervalo abierto

Entonces, existe un donde se cumple

Teorema de Cauchy

Sea y funciones tales que:

  • y continuas en el intervalo cerrado
  • y derivables en el intervalo abierto

Entonces, existe un donde se cumple

Nota

  • Los tres teoremas son equivalentes entre si.
  • El teorema de Rolle se puede demostrar usando el teorema de Weierstrass y el teorema de Fermat.
  • El cociente es la pendiente de la recta secante a que pasa por los puntos y
  • es la pendiente de la recta tangente de en
  • La igualdad en el teorema de Lagrange indica que la recta tangente es paralela a la recta secante.
  • en los teoremas se garantiza la existencia de un con la propiedad indicada, pero pueden existir otros.
  • El teorema de Cauchy es útil en la demostración de la Regla de L'Hospital.
Representación gráfica del teorema de Lagrange. Dada la recta secante que pasa por y es posible hallar al menos una recta tangente de igual pendiente.

Consecuencias de Teorema de Valor Medio

Teorema

Sea una función tal que Entonces

Teorema

Sean y dos funciones tales que Entonces

Teorema

Sea una funcion derivable en .

creciente en

decreciente en

Nota

  • Los tres teoremas pueden interpretarse físicamente tomando a cada función como la posición en el tiempo y la derivada como la velocidad instantanea.
  • Con el corolario del Teorema de Bolzado sobre es posible hallar los intervalos de monotonía de la función
  • Los intervalos de monotonía son útiles a la hora de estudiar o graficar una función.
La pendiente de la recta tangente al gráfico de una función y la monotonía están relacionados. En los intervalos donde la función es creciente (decreciente) su recta tangente tiene pendiente positiva (negativa).

Gráfico aproximado de funciones

Para realizar un gráfico aproximado de una función es necesario:

  1. Hallar dominio de la función
  2. Hallar intervalos de monotonía de la función
    1. Calcular la función derivada
    2. Hallar los puntos criticos de la función derivada
    3. Aplicar Corolario del Teorema de Bolzano sobre la función derivada
  3. Estudiar el comportamiento de la función en las fronteras de cada intervalo de monotonía:
    • Evaluando la función si la misma es continua.
    • Haciendo límite.

Utilidad

Con el gráfico de una función es posible:

  • Estimar la imagen de la función
  • Hallar los extremos de la función y clasificarlos.
  • Hallar la cantidad de soluciones de la ecuación donde es una constante.